Ce dossier thématique, publié dans la revue de l'Association des Professeurs de Mathématiques de l'Enseignement Public (APMEP) sous le numéro 501, explore l'application du calcul matriciel à la dynamique des populations. Rédigé par Jacques Bair, professeur à l'Université de Liège, ce document s'intéresse à la modélisation mathématique de l'évolution temporelle d'une population animale structurée en classes d'âges, en s'appuyant sur les travaux du statisticien anglais Sir P. H. Leslie publiés en 1945.
Le document se structure de manière progressive, débutant par une mise en contexte historique sur la modélisation démographique continue de Malthus, Verhulst ou Lotka-Volterra, pour ensuite introduire le modèle discret de Leslie. L'auteur détaille l'utilisation des matrices pour suivre l'évolution d'effectifs répartis selon des classes d'âges discrètes à intervalles de temps réguliers.
La première partie analyse en détail un exemple simple avec une matrice carrée d'ordre 2, simulant une population de souris femelles réparties en deux catégories : les juvéniles et les adultes. Les calculs par récurrence, l'utilisation des vecteurs, la diagonalisation de la matrice de Leslie et l'observation du comportement asymptotique à long terme y sont exposés de manière rigoureuse.
La deuxième partie aborde un exemple plus complexe de matrice carrée d'ordre 3 pour étudier l'évolution d'une population de rates divisée en trois classes d'âges : juvéniles, préadultes et adultes. Dans ce cas particulier où la matrice n'est pas diagonalisable, le texte introduit le théorème de Perron-Frobenius pour déterminer l'existence d'une valeur propre dominante et d'un vecteur propre dominant permettant de caractériser la croissance exponentielle à long terme et la répartition stable des classes.
Enfin, la troisième partie propose une généralisation mathématique au cas d'une matrice carrée d'ordre K + 1. L'auteur y explicite la structure générale de la matrice de Leslie, associant sur la première ligne les fécondités nettes et sur la sous-diagonale les probabilités de survie entre classes d'âges successives. Le dossier se conclut par une bibliographie thématique renvoyant vers des ouvrages et articles spécialisés en mathématiques, en histoire des sciences et en biologie.
Ce document offre aux enseignants et aux étudiants une illustration concrète de l'utilité du calcul matriciel et de la théorie spectrale en biologie et en démographie. Il permet de relier des notions d'algèbre linéaire telles que les valeurs propres, les vecteurs propres et les puissances de matrices à des situations concrètes d'évolution temporelle. L'étude des quotients successifs et de la stabilisation à long terme constitue un support pertinent pour aborder les limites de suites vectorielles et le comportement asymptotique.
Le modèle de Leslie sert à décrire la dynamique temporelle d'une population animale structurée en classes d'âges, en tenant compte des taux de fécondité spécifiques à chaque âge et des probabilités de survie d'une classe à l'autre à intervalles réguliers.
Ce théorème est évoqué pour justifier l'existence d'une valeur propre dominante et d'un vecteur propre dominant lorsque la matrice de Leslie n'est pas diagonalisable, ce qui permet de prévoir l'évolution à long terme et la répartition stable de la population.
Le premier exemple distingue les souris juvéniles (âgées de moins d'un an) et les souris adultes (dont l'âge est compris entre un an et deux ans).
En quelle année le statisticien Sir P. H. Leslie a-t-il publié son article fondamental dans la revue Biometrika ?
Réponse correcte : 1945
Explication : Le texte indique qu'en 1945, Leslie publie dans la revue Biometrika un article intitulé On the use of matrices in certain population mathematics.
Dans le premier exemple numérique du texte concernant les souris, quel est le taux de survie des juvéniles pour atteindre la deuxième année ?
Réponse correcte : 0,25
Explication : Le texte précise que la probabilité pour qu'une souris survive une deuxième année est de 0,25.
Pourquoi la matrice de Leslie du deuxième exemple (ordre 3) n'est-elle pas diagonalisable ?
Réponse correcte : Parce que la valeur propre -1 est double et qu'il est impossible de trouver deux vecteurs propres linéairement indépendants associés.
Explication : Le dossier indique explicitement que dans ce cas, la matrice n'est pas diagonalisable car la valeur propre -1 est double et ne permet pas d'obtenir deux vecteurs propres indépendants.
