Ce document d'évaluation en mathématiques s'adresse aux élèves ingénieurs et se compose d'un sujet d'examen assorti de sa correction détaillée. Daté du 22 octobre 2014, il a été proposé dans le cadre de la formation INP-S3-2A à l'INP de Bordeaux. L'évaluation dure une heure et aborde des notions fondamentales d'algèbre linéaire, de réduction d'endomorphismes et de calcul matriciel.
Le sujet est divisé en trois exercices distincts permettant d'évaluer la maîtrise des concepts avancés d'algèbres linéaires sur les espaces vectoriels complexes et réels. La rédaction rigoureuse exigée dans les consignes se retrouve pleinement dans la correction proposée sur les pages suivantes.
La première partie propose d'analyser une matrice carrée d'ordre 4 pour déterminer si elle est diagonalisable. L'examen du polynôme caractéristique et des valeurs propres permet de conclure quant à l'existence d'une base de vecteurs propres.
L'exercice le plus consistant du sujet s'articule autour d'une matrice carrée d'ordre 3. Les questions successives amènent l'étudiant à calculer le polynôme caractéristique, à expliciter les vecteurs propres associés, puis à étudier l'impossibilité d'une diagonalisation simple pour construire une matrice de Jordan. Sont également abordés l'ininversibilité de la matrice de passage, le polynôme minimal et les projecteurs spectraux. La seconde partie de cet exercice applique ces outils à la résolution d'un système de suites récurrentes couplées grâce à l'utilisation d'une matrice associée et de la formule du binôme de Newton.
Le dernier exercice introduit une matrice par blocs de taille 2n construite à partir d'une matrice diagonalisable A. À l'aide de vecteurs décomposés par blocs, les questions guident l'élève vers l'établissement d'une relation entre les valeurs propres de la matrice par blocs et celles de la matrice A, tout en étudiant les dimensions des noyaux associés pour caractériser la diagonalisibilité globale.
Ce type de document constitue un support d'entraînement précieux pour les étudiants en école d'ingénieurs ou en classes préparatoires. Il est conseillé de chercher chaque exercice de manière autonome en temps limité, conformément aux conditions de l'épreuve d'une heure, avant de consulter les corrections rédigées pour vérifier la rigueur du raisonnement et la syntaxe mathématique employée.
Ce devoir s'adresse à des étudiants de niveau post-bac de type deuxième année d'école d'ingénieurs (niveau S3-2A) ou classes préparatoires, ayant déjà acquis les bases de l'algèbre linéaire.
Le sujet évalue principalement la réduction des endomorphismes, les valeurs propres et vecteurs propres, la réduction de Jordan, les projecteurs spectraux, ainsi que l'application des matrices aux suites récurrentes.
Oui, le PDF intègre la correction détaillée et rédigée de l'ensemble des exercices proposés dans le sujet initial.
Quelle est la dimension de l'espace vectoriel pour la matrice par blocs B de l'exercice 3 ?
Réponse correcte : 2n
Explication : La matrice B est définie dans l'ensemble M2n(C), ce qui correspond à des matrices de taille 2n par 2n.
Quelle méthode est utilisée dans l'exercice 2 pour traiter la puissance de la matrice B ?
Réponse correcte : La formule du binôme de Newton avec une matrice nilpotente
Explication : La correction écrit la matrice B comme la somme d'une matrice diagonale et d'une matrice nilpotente d'ordre 2 qui commutent.
